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3セット以上のユニオンの確率

3セット以上のユニオンの確率

2つのイベントが相互に排他的である場合、それらの結合の確率は加算ルールを使用して計算できます。サイコロを振る場合、4を超える数または3未満の数を振ることは相互に排他的なイベントであり、共通点はありません。したがって、このイベントの確率を見つけるには、4より大きい数字をロールする確率を3未満の数字をロールする確率に単純に加算します。シンボルには、次のものがあります。 P は「の確率」を示します。

P(4より大きいか3より小さい)= P(4より大きい)+ P(3未満)= 2/6 + 2/6 = 4/6。

イベントが じゃない 相互に排他的である場合、イベントの確率を単純に加算するのではなく、イベントの交差の確率を減算する必要があります。イベントを考える A そして B:

P(A うん B) = P(A) + P(B) - P(AB).

ここでは、両方にある要素を二重にカウントする可能性を説明します A そして B、そしてそれが交差の確率を引く理由です。

これから生じる質問は、「なぜ2セットで停止するのですか? 3セット以上の結合の確率はどのくらいですか?」

3セットのユニオンの式

上記のアイデアを、3つのセットがある状況に拡張します。 A, B、そして C。これ以上のことは想定していませんので、集合に空でない交差がある可能性があります。目標は、これら3つのセットの結合の確率を計算することです。 P (A うん B うん C).

2つのセットに関する上記の議論はまだ有効です。個々のセットの確率を合計できます A, B、そして C、しかしこれを行う際に、いくつかの要素を二重にカウントしました。

の交差点の要素 A そして B 以前のように二重にカウントされましたが、現在は潜在的に2回カウントされている他の要素があります。の交差点の要素 A そして C そしての交差点で B そして C 現在も2回カウントされています。したがって、これらの交点の確率も差し引く必要があります。

しかし、引き算が多すぎませんか?セットが2つしかない場合に気にする必要がなかったと考える新しいことがあります。任意の2つのセットが交差をもつことができるように、3つのセットすべてが交差をもつこともできます。何も二重にカウントしないようにするために、3つのセットすべてに現れる要素をすべてカウントしていません。したがって、3つのセットすべての交差の確率を追加し直す必要があります。

上記の議論から導き出された式は次のとおりです。

P (A うん B うん C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

2つのサイコロを含む例

3つのセットの和集合の確率の公式を見るために、2つのサイコロを振るボードゲームをプレイしているとします。ゲームのルールにより、少なくとも1つのダイスを2、3、または4にする必要があります。これの可能性は何ですか? 3つのイベントが結合する確率を計算しようとしていることに注意してください。少なくとも1つ2つ、少なくとも1つ3つ、少なくとも1つ4つをロールします。したがって、上記の式を次の確率で使用できます。

  • 2を振る確率は11/36です。ここでの分子は、最初のダイスが2である6つの結果、2番目のダイスが2である6つの結果、両方のダイスが2である1つの結果があるという事実に由来します。これにより、6 + 6-1 = 11が得られます。
  • 上記と同じ理由で、3を振る確率は11/36です。
  • 上記と同じ理由で、4を振る確率は11/36です。
  • 2と3を振る確率は2/36です。ここでは、可能性を単純にリストできます。2つが最初になるか、2番目になる可能性があります。
  • 2と4を振る確率は2/36です。同じ理由で、2と3を振る確率は2/36です。
  • 2、3、4を振る確率は0です。これは、2つのサイコロを振るだけで、2つのサイコロで3つの数字を取得する方法がないためです。

ここで式を使用して、少なくとも2、3、または4になる確率は

11/36 + 11/36 + 11/36 - 2/36 - 2/36 - 2/36 + 0 = 27/36.

4セットのユニオンの確率の式

4つのセットの和集合の確率の式がその形式を持つ理由は、3つのセットの式の理由に似ています。セットの数が増えると、ペア、トリプルなどの数も増えます。 4つのセットでは、減算する必要がある6つのペアワイズ交差点、加算するための4つのトリプル交差点、および減算する必要がある4倍交差点があります。与えられた4つのセット A, B, C そして D、これらのセットの結合の式は次のとおりです。

P (A うん B うん C うん D) = P(A) + P(B) + P(C) +P(D) - P(AB) - P(AC) - P(AD)- P(BC) - P(BD) - P(CD) + P(ABC) + P(ABD) + P(ACD) + P(BCD) - P(ABCD).

全体パターン

4セット以上の結合の確率について式を作成することもできますが(上記の式よりも恐ろしく見えます)、上記の式を調べると、いくつかのパターンに気付くはずです。これらのパターンは、4セット以上の和集合を計算するために保持されます。任意の数のセットの和集合の確率は、次のように見つけることができます。

  1. 個々のイベントの確率を追加します。
  2. イベントのすべてのペアの交差の確率を減算します。
  3. 3つのイベントのすべてのセットの交差の確率を追加します。
  4. 4つのイベントのすべてのセットの交差の確率を減算します。
  5. 最後の確率が、開始したセットの総数の交差の確率になるまで、このプロセスを続けます。